Wann ist eine komplexe Zahl reell?
Eine komplexe Zahl, die keinen Imaginärteil besitzt, kann man als reelle Zahl betrachten. Daraus folgt, dass alle reellen Zahlen in der Menge der komplexen Zahlen enthalten ist. Eine komplexe Zahl z = 0 + i \cdot 1 hingegen, die also keinen Realteil besitzt, bezeichnet man als rein-imaginär.
Wie ist eine komplexe Zahl definiert?
Komplexe Zahlen (Symbol: ) stellen eine Erweiterung des Zahlenbereichs dar. Diese Erweiterung ist notwendig um Gleichungen wie z.B. x 2 = − 1 lösen zu können. Komplexe Zahlen können in der Form z = a + b ⋅ i dargestellt werden.
Wann ist die Summe zweier komplexer Zahlen reell?
In allen drei Fällen stellt (50) eine Summe zweier zueinander komplex konjugierter Zahlen dar. Eine solche Summe ist immer reell (da die Imaginärteile einander genau aufheben).
Was ist Zahl i?
Eine (rein) imaginäre Zahl (auch Imaginärzahl, lat. numerus imaginarius) ist eine komplexe Zahl, deren Quadrat eine nichtpositive reelle Zahl ist. Äquivalent dazu kann man die imaginären Zahlen als diejenigen komplexen Zahlen definieren, deren Realteil null ist.
Wann ist eine komplexe Zahl 0?
0 ist das neutrale Element der Addition und 1 das neutrale Element der Multiplikation. Algebraisch gesprochen bilden die komplexen Zahlen einen Körper, der algebraisch abgeschlossen ist. Die reellen Zahlen sind ein echter Unterkörper des Körpers der komplexen Zahlen.
Warum sind komplexe Zahlen sinnvoll?
Aber es ist aus zwei Gründen sinnvoll, die komplexen Zahlen als Zahlen zu bezeichnen: In diesem Sinn kann die Menge der reellen Zahlen als Teilmenge von aufgefasst werden. Geometrisch entspricht sie der -Achse der Zeichenebene. Wir können reelle Zahlen daher als Spezialfälle komplexer Zahlen ansehen.
Warum ist die Erweiterung von reellen Zahlen sinnvoll?
Beispielsweise machen die affin erweiterten reellen Zahlen es möglich, die unendlichen Elemente als den Grenzwert von bestimmt divergenten Folgen anzusehen und somit solche Folgen analog zu konvergenten Folgen zu behandeln. Die Definition der Erweiterungen ist dementsprechend zunächst topologisch motiviert.