Wie löst man inhomogene DGL?
Eine inhomogene DGL wird mit Hilfe eines Ansatzes gelöst. Dabei wird die Lösung der homogenen DGL mit einer partikulären Lösung, die die inhomogene DGL erfüllt, überlagert. Die partikuläre Lösung wird durch Variation der Konstanten nach LAGRANGE (Joseph-Louis, 1736-1813) erhalten.
Wann wendet man Variation der Konstanten an?
Die Variation der Konstanten ist eine Methode, die beim Lösen von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung benutzt wird. mit c∈R und A(x)=∫a(x) dx bekannt. Dann liefert die Variation der Konstanten die allgemeine Lösung der DGL.
Was ist die allgemeine Lösung?
Die allgemeine Lösung einer exakten Differentialgleichung ist F(x, y) = C , C ∈ R . . . const. Dabei ist F eine Stammfunktion. Es sei weiters erwähnt, dass sich zwei Stammfunktionen zu P dx + Qdy = 0 nur durch eine additive Konstante unterscheiden.
Was sind homogene Gleichungen?
Eine lineare Gleichung der Form a1x1+a2x2+cdots+anxn=0 wird als homogene Gleichung bezeichnet, da die rechte Seite null ist.
Warum Variation der Konstanten?
Die Variation der Konstanten ist ein Verfahren aus der Theorie linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen zur Bestimmung einer speziellen Lösung eines inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems erster Ordnung bzw. einer inhomogenen linearen Differentialgleichung beliebiger Ordnung.
Welche Funktion erfüllt die homogene Gleichung?
Dass diese Funktion die homogene Gleichung erfüllt, sehen wir, wenn wir die Probe durchführen (muss nicht unbedingt gemacht werden): Als Lösungsansatz verwenden wir einen Ansatz vom “Typ der rechten Seite”. Das bedeutet, wir verwenden als Ansatzfunktion eine Funktion der Klasse der Funktion, die auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens steht.
Was ist eine Differentialgleichung?
Eine Differentialgleichung (kurz Diff.’gleichung oder DGL) ist eine Gleichung, in der eine Funktion und auch Ableitungen von dieser Funktion auftauchen können. Die Lösung dieser Art von Gleichung ist eine Funktion – keine Zahl! Zunächst wollen wir hier kurz klären, in welchen Schreibweisen Differentialgleichungen auftreten können.
Was sind die allgemeinen Lösungen zu gewöhnlichen Differentialgleichungen?
Die allgemeinen Lösungen zu gewöhnlichen Differentialgleichungen sind nicht eindeutig, sondern bringen arbiträre Konstanten hervor. Die Anzahl der Konstanten entspricht in den meisten Fällen der Ordnung der Gleichung. In der Anwendung unterliegen diese Konstanten bestimmten Anfangswerten: die Funktion und ihre Ableitungen bei
Wie lösen wir die charakteristische Gleichung?
Anschließend suchen wir eine partikuläre Lösung, die die inhomogene DGL erfüllt. Die allgemeine Lösung ist die Summe aus homogener und partikulärer Lösung. Ableiten und Einsetzen führt auf die charakteristische Gleichung: Wir lösen die charakteristische Gleichung durch quadratisches Ergänzen: