Was sind komplexe Zahlen ohne reelle Zahlen?
Die komplexen Zahlen bestehen aus dem Realteil x und dem Imaginärteil y, den wir mit i (bedeutet imaginär) multiplizieren. Das i ist selbst keine reelle Zahl. Wir bezeichnen es als imaginäre Einheit der komplexen Zahl.
Ist jede reelle Zahl eine komplexe Zahl?
Tatsächlich ist jede reelle Zahl auch eine komplexe Zahl. Im Allgemeinen werden alle von Null verschiedenen komplexe Zahlen a + b i a+bi a+bia, plus, b, i auch… eine rein imaginäre Zahl, wenn a = 0 a=0 a=0 ist.
Was sind komplexe Zahlen?
Komplexe Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen. Mit ihnen ist es möglich Wurzeln auch aus negativen Zahlen zu berechnen. Dafür braucht man eine neue Zahl, die „imaginäre Einheit“ i (manchmal auch j). Imaginäre Zahlen haben eine besondere Eigenschaft: Eine komplexe Zahl z hat zwei Bestandteile:
Wie funktioniert die Multiplikation mit komplexen Zahlen?
Multiplikation mit komplexen Zahlen folgt dem Distributivgesetz. Dementsprechend gilt: Das Produkt zweier komplexer Zahlen kann auch eine reelle Zahl sein. Dies ist der Fall, wenn die Faktoren ( a +bi) und ( a -bi) sind. Dann ergibt sich nämlich:
Was ist die Konjugation in der komplexen Zahlenebene?
In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl z ¯ {displaystyle {bar {z}}} bei unverändertem Betrag gerade den negativen Winkel von z . {displaystyle z.} Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die Spiegelung an der reellen Achse interpretieren.
Wie verhalten sich komplexe Zahlen wie Koordinaten?
Da komplexe Zahlen sich wie Koordinaten verhalten, lassen sie sich auch in eine andere Koordinatenform bringen: die Polarform. Anstatt zwei Punkte im Raum, braucht man bei der Polardarstellung einen Winkel θ und eine Länge r. Ausgehend vom Ursprung kann so auch ein Punkt im Raum dargestellt werden.