Sind Vektorräume Körper?
Die strukturellen Eigenschaften eines Vektorraums sind eindeutig durch den Körper, über dem er definiert ist, und seine Dimension bestimmt. Eine Basis ermöglicht es, Rechnungen mit Vektoren über deren Koordinaten statt mit den Vektoren selbst auszuführen, was manche Anwendungen erleichtert.
Was ist ein Q Vektorraum?
Allgemein kann man für einen beliebigen Körper K den Vektorraum K n K^n Kn definieren. Dieser enthält die n-Tupel von Elementen aus K als Vektoren, deren Addition und Skalarmultiplikation komponentenweise definiert ist. R ist ein Q-Vektorraum, wie aus den Körpereigenschaften von R folgt.
Wann sind Mengen Vektorräume?
Die einzige Bedingung, die erfüllen muss, um ein Vektorraum zu sein, besteht darin, dass die Operationen „Addition“ und „Bilden eines (reellen) Vielfachen“ – d.h. das Bilden reeller Linearkombinationen – nicht aus ihr herausführen. Nur dann ist ein Vektorraum (und zwar ein Teilraum des Grund-Vektorraums)!
Was heißen Elemente eines Vektorraums?
Die Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren. Sie können addiert oder mit Skalaren (Zahlen) multipliziert werden, das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums.
Was ist die Dimension eines Vektorraums?
Vektorraum. Die Anzahl der Basisvektoren in einer Basis wird Dimension des Vektorraums genannt. Sie ist unabhängig von der Wahl der Basis und kann auch unendlich sein. Die strukturellen Eigenschaften eines Vektorraums sind eindeutig durch den Körper, über dem er definiert ist, und seine Dimension bestimmt.
Wie kann man mit einem Vektoren rechnen?
Natürlich kann man mit Vektoren auch rechnen. Wir werden mit der Skalierung/Streckung von Vektoren beginnen und dabei auch immer parallel betrachten, was geometrisch passiert. Rechnerisch wird bei der Multiplikation mit einem Skalar (in unserem Fall eine reelle Zahl) jede Komponente mit diesem multipliziert. Es gilt also
Was ist ein Vektor?
Ein Vektor \\ (\\vec v\\) ist, bildlich gesprochen, so etwas wie ein (ideal gerader) Pfeil: ein geometrisches Objekt, das eine Länge hat und außerdem in eine bestimmte Richtung zeigt. Die Länge des Vektors nennt man seinen Betrag \\ (|\\vec v |\\), die Richtung kann man z. B. durch einen Anfangs- und einen Endpunkt angeben.