Sind Untergruppen Gruppen?

Wolfgang SchneiderFebruar 19, 2021

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Sind Untergruppen Gruppen?

Gruppen, die auf diese Art als Teilmengen von anderen entstehen, werden als Untergruppen bezeichnet. Definition 3.1 (Untergruppen). Es sei (G, ·) eine Gruppe und U eine Teilmenge von G.

Was ist eine echte Untergruppe?

Eine nichtleere Teilmenge H einer Gruppe G mit ab−1 ∈ H für a, b ∈ H nennt man eine Untergruppe von G. Untergruppen H von G mit H = G nennen wir echte Untergruppen von G. Eine echte Untergruppe M von G nennt man maximale Untergruppe von G, falls keine Untergruppe H von G mit M

Ist N +) eine Gruppe?

Das Paar (N,+) ist keine Gruppe, da es in der Menge N nicht zu jedem Element ein inverses Element gibt. Die Paare (Q,+) und (Q \ {0},·) sind abelsche Gruppen. Es sei P die Menge der Polynome, dann ist das Paar (P,+) eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element ist die 0 und zu einem Polynom p(x) ist −p(x) das inverse.

Was ist eine erzeugte Untergruppe?

Erzeugte Untergruppen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Da der Durchschnitt von Untergruppen wieder eine Untergruppe ist, gibt es zu jeder Teilmenge einer Gruppe eine bezüglich der Inklusion minimale Untergruppe von , die enthält. Diese Untergruppe wird mit bezeichnet und die von erzeugte Untergruppe von genannt.

Was ist die Untergruppe der Untergruppe?

Die Gruppe ( G , ∘ ) {displaystyle (G,circ )} heißt Obergruppe der Untergruppe ( U , ∘ ) {displaystyle (U,circ )} , in Zeichen G ≥ U {displaystyle Ggeq U} . Untergruppen sind die Unterstrukturen in der Gruppentheorie.

Was ist eine Untergruppe in der Mathematik?

In der Gruppentheorie der Mathematik ist eine Untergruppe ( U , ∘ ) {displaystyle (U,circ )} einer Gruppe ( G , ∘ ) {displaystyle (G,circ )} eine Teilmenge U {displaystyle U} von G {displaystyle G} , die bezüglich der Verknüpfung ∘ {displaystyle circ } selbst wieder eine Gruppe ist.

Ist eine Gruppe eine Gruppe?

Eine Gruppe besteht also immer aus zwei Daten: einer Menge und einer Verknüpfung. Deshalb schreibt man auch oft “Sei (G,◦) eine Gruppe”. Um sich Schreibarbeit zu sparen, sagt man oft kurz “Sei G eine Gruppe” und denkt sich die Verknüpfung ◦ dazu.

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Sind Untergruppen Gruppen?

Wolfgang SchneiderApril 5, 2020

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Sind Untergruppen Gruppen?

Untergruppen sind die Unterstrukturen in der Gruppentheorie.

Was ist eine Untergruppe Deutsch?

IPA: [ˈʊntɐˌɡʁʊpə] Untergruppe. Bedeutungen: [1] zusammengehörender Teil einer Menge von Personen, Tieren oder Dingen.

Wie beweise ich Untergruppe?

Man beweise die fol- genden vereinfachten Untergruppenkriterien: (a) U ist eine Untergruppe von G genau dann, wenn ab−1 ∈ U für alle a,b ∈ U gilt. (b) HatU nur endlich viele Elemente, so istU eine Untergruppe von G genau dann, wenn ab ∈U für alle a,b ∈ U gilt, also wenn das Untergruppenkriterium (U1) aus Satz 3.3 gilt.

Was ist eine Gruppe Lineare Algebra?

In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen …

Was ist die Ordnung einer Gruppe?

Die Ordnung eines Elements a ∈ G ist ordG(a) := min{i ∈ N | ai = 1}. H ⊆ G heißt Untergruppe von G, falls H eine Gruppe ist. Wir bezeichnen mit 〈a〉 := {a,a2,a3,…,aordG(a)} die von a erzeugte Untergruppe. Die von einem Element a erzeugten Gruppen heißen zyklisch.

Wie zeigt man homomorphismus?

Seien G und H zwei Gruppen. Eine Abbildung f : G → H f:G\rightarrow H f:G→H heißt Gruppenhomomorphismus oder einfach Homomorphismus genau dann, wenn für alle x , y ∈ G x,y\in G x,y∈G gilt: f ( x ∘ y ) = f ( x ) ∘ f ( y ) f(x\circ y)=f(x)\circ f(y) f(x∘y)=f(x)∘f(y).

Ist Z eine Gruppe?

(Z\{0},·) ist keine Gruppe, da es zwar ein neutrales Element gibt, aber nicht immer ein inverses Element.

Wann ist eine Gruppe eine Gruppe?

Gruppe steht für: soziale Gruppe, in Soziologie und Psychologie in der Regel eine Gruppe ab 3 Personen mit unmittelbaren und gegenseitigen Beziehungen zueinander. Gruppe, Organisationselement in der Behördenhierarchie, siehe Unterabteilung. Gruppe (Parlament), Zusammenschluss mehrerer Abgeordneter.