Ist ein Gradient ein Vektor?
Der Gradient dieses Skalarfelds in einem Punkt ist ein Vektor, der in Richtung des steilsten Anstiegs der Höhenfunktion weist und der Betrag des Gradienten entspricht der Stärke dieses Anstiegs. Der Gradient steht dabei in jedem Punkt senkrecht auf der Höhenlinie (Niveaumenge) der Höhenfunktion durch diesen Punkt.
Wann Potentialfeld?
Dann ist F genau dann ein Potentialfeld wenn F ein Gradientenfeld ist, d.h. wenn es eine stetig differenzierbare Funktion ϕ : U → R mit F = gradϕ gibt. Die Funktionen ϕ mit dieser Eigenschaft sind dann genau die Potentiale von ϕ.
Wann ist ein Vektorfeld stetig differenzierbar?
Das Vektorfeld heißt stetig differenzierbar, wenn es selbst stetig und jede Komponentenfunktion der vektorwertigen Abbildung g stetig partiell differenzierbar ist (wenn demnach die Abbildung g total differenzierbar ist, vgl. 4.4.4 und 4.7.2).
Wann ist die Rotation null?
Ein Vektorfeld, dessen Rotation in einem Gebiet überall gleich null ist, nennt man wirbelfrei oder, insbesondere bei Kraftfeldern, konservativ. Die Divergenz der Rotation eines Vektorfeldes ist gleich null.
Wann hat eine Funktion ein Potential?
Mathematik: eine Funktion, die eine Lösung der Poisson-Gleichung ist, siehe Potentialfunktion. ein Skalarfeld, dessen Gradient ein Vektorfeld liefert, siehe Skalarpotential. ein Vektorfeld, dessen Rotation ein Vektorfeld liefert, siehe Vektorpotential.
Was ist ein Vektorfeld der Bewegung des Körpers?
Ein anschauliches Beispiel ist das Vektorfeld der Bewegung der Partikel eines Körpers. Die mit dem Deformationsgradient gebildete Richtungsableitung des Bewegungsfeldes transformiert die Strecke von einem Partikel zu einem benachbarten Partikel des Körpers im undeformierten Zustand in die entsprechende Strecke im deformierten Zustand, siehe Bild.
Was sind die Eigenschaften von Gradientenfeldern?
Für Gradientenfelder gelten die folgenden einander äquivalenten Eigenschaften: innerhalb des Feldes ist nur von ihrem Anfangs- und Endpunkt abhängig, nicht dagegen von ihrer Länge. . Generelle Rotationsfreiheit bzw. Wirbelfreiheit des Feldes : . zeigen. Dem Prinzip des kleinsten Zwanges folgend, sind die diesem Gradienten entgegengesetzten Vektoren
Was ist ein Vektorfeld?
Definition und Eigenschaften [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Ein Vektorfeld heißt Gradientenfeld, wenn es ein Skalarfeld gibt, so dass gilt. Dabei nennt man das zu gehörige Skalarpotential oder einfach kurz das „Potential“ des Gradientenfelds . Der Begriff darf jedoch nicht mit dem physikalischen Begriff des „ Potentials “…
Welche Vektoren bezeichnen sich als mathematische Operatoren?
Zur besseren Abgrenzung zwischen dem Gradienten als mathematischem Operator und dem Resultat seiner Anwendung bezeichnen manche Autoren die Vektoren, aus denen sich Gradientenfelder zusammensetzen, auch als Gradientvektoren, andere dagegen mit Blick auf die Potentiale, aus denen sie sich herleiten, als Potentialvektoren .