Ist unendlich eine irrationale Zahl?
Irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen nach dem Komma, die sich nicht periodisch wiederholen. Hierzu gehören z.B. die Wurzeln aus natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind. Auch die Kreiszahl π=3.14159… ist eine irrationale Zahl – sie ist keine periodische Dezimalzahl.
Wie viele rationale Zahlen gibt es?
Es gibt sowohl unendlich viele rationale Zahlen als auch unendlich viele irrationale Zahlen. Wobei sich beide Arten der Unendlichkeit qualitativ unterscheiden. Die rationalen Zahlen sind abzählbar (Satz 15XC), wohingegen die irrationalen Zahlen überabzählbar sind (Folgerung 16HR).
Warum reichen rationale Zahlen nicht aus?
Die rationalen Zahlen ℚ reichen also nicht aus, um die Zahlengerade vollständig zu füllen. Es bleiben Lücken bestehen. Um jeden Punkt der Zahlengerade zu erfassen, muss die Menge ℚ daher auf die Menge ℝ der reellen Zahlen erweitert werden.
Sind die rationalen Zahlen vollständig?
Denn jede rationale Zahl ist zugleich reelle Zahl, und damit gilt der obige Satz analog. Die rationalen Zahlen sind jedoch nicht vollständig, denn die Menge { q ∈ Q ∣ q 2 < 2 } \{q\in \dom Q| \, q^2<2\} {q∈Q∣q2<2} besitzt kein Supremum, da 2 keine rationale Zahl ist.
Was bedeutet rationale Zahlen?
Rationale Zahlen erhält man, wenn man das Konzept von ganzen Zahlen mit dem Konzept von Brüchen und Dezimalzahlen kombiniert. Das heißt, die Menge der Brüche wird durch Zahlen der Form −ab erweitert, wobei a und b natürliche Zahlen sind.
Kann jede Zahl als Bruch dargestellt werden?
Jeder Bruch kann durch Ausführen einer Division in Dezimalschreibweise gebracht werden: Die Zahl hat dann entweder endlich viele Nachkommastellen ≠0, z.B.: 7/4 = 7:4 = 1,75 oder sie hat unendlich viele Nachkommastellen ≠0, z.B.: 7/3 = 7:3 = 2,333…. Genau diese Zahlen bilden den Zahlenbereich der irrationalen Zahlen.
Sind die ganzen Zahlen dicht?
Zahlenmengen und ihre Eigenschaften – Lernpfad. Wie bereits gesehen, ist die Menge der ganzen Zahlen ℤ bezüglich der Division nicht abgeschlossen, d.h. das Ergebnis einer Division ganzer Zahlen muss nicht in ℤ liegen.
Was sind keine rationalen Zahlen?
Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist. Kennzeichen einer irrationalen Zahl ist, dass sie nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellbar ist. und das Teilungsverhältnis des Goldenen Schnitts sind irrationale Zahlen.