Sind die Vektoren ein Erzeugendensystem?
Erzeugendensystem bilden, muss man einen beliebigen Vektor aus den anderen Vektoren linear kombinieren können. Mit anderen Worten: Ist V ein Erzeugendensystem eines Vektorraums, so ist jeder Vektor durch mindestens eine Linearkombination der Vektoren aus V darstellbar.
Ist eine Basis ein Erzeugendensystem?
Merke. Eine Basis ist ein Erzeugendensystem, bei dem alle Vektoren linear unabhängig sind.
Wann sind Vektoren kein Erzeugendensystem?
Eine Menge von Vektoren, die weniger Elemente enthält als die Dimension des Vektorraums, kann niemals ein Erzeugendensystem sein.
Kann ein Erzeugendensystem linear abhängig sein?
Die minimale Anzahl Vektoren in einem Erzeugendensystem, so dass dieses eben noch erzeugend ist, ist gerade die Dimension des Vektorraums, hier n. Somit muss sogar gelten k = n (Satz 4.3), insbesondere also k ≤ n. (v) √ Die Vektoren eines Erzeugendensystems können linear abhängig sein.
Wann ist es ein erzeugendensystem?
Ein Erzeugendensystem ist in der Mathematik eine Teilmenge der Grundmenge einer mathematischen Struktur, aus der durch Anwendung der verfügbaren Operationen jedes Element der gesamten Menge dargestellt werden kann. Erzeugendensysteme einer vorgegebenen mathematischen Struktur sind in der Regel nicht eindeutig bestimmt.
Wann bilden die Vektoren eine Basis?
Die folgenden beiden Eigenschaften müssen erfüllt sein, damit eine Menge von Vektoren eine Basis eines Vektorraumes ist. Die Anzahl der Vektoren stimmt überein mit der Dimension des Vektorraumes. Die Vektoren sind linear unabhängig. → Eine Basis des Rn besteht also aus n linear unabhängigen Vektoren!
Was ist die Basis eines Vektorraums?
In der linearen Algebra ist eine Basis eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt. Die Koeffizienten dieser Linearkombination heißen die Koordinaten des Vektors bezüglich dieser Basis.
Wann ist es ein Erzeugendensystem?
Eine Menge von Vektoren heißt Erzeugendensystem, wenn man mit ihnen alle Vektoren eines Vektorraumes durch Linearkombination erzeugen kann.
Ist der Nullvektor immer linear abhängig?
Der Nullvektor ist linear abhängig, denn es gilt 0 = 1 ⋅ 0 0=1\cdot 0 0=1⋅0. Ebenso ist jede Menge, die den Nullvektor enthält linear abhängig. Im R2 sind die Vektoren (1,0) und (0,1) linear unabhängig.
Wann sind Vektoren linear abhängig und unabhängig?
Allgemeine Definition Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn man eine Linearkombination von ihnen bilden kann, die den Nullvektor ergibt und nicht trivial ist (trivial wäre, einfach von allen Vektoren das Nullfache zu nehmen). Geht das nicht, so sind sie linear unabhängig.
Wann ist eine Menge von Vektoren eine Basis?
In der linearen Algebra ist eine Basis eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt. Die Koeffizienten dieser Linearkombination heißen die Koordinaten des Vektors bezüglich dieser Basis. Ein Element der Basis heißt Basisvektor.
Wie zeigt man dass Vektoren eine Basis bilden?