Wann ist ein Ring nullteilerfrei?
Man nennt einen Ring R nullteilerfrei, wenn für je zwei Elemente r, r′ ∈ R mit r = 0,r′ = 0 gilt: rr′ = 0. Der Ring Z ist nullteilerfrei, jeder Körper ist nullteilerfrei. Auf diese Weise wird Z/nZ zu einem kommutativen Ring. Ist n keine Primzahl, so ist Z/nZ nicht nullteilerfrei.
Ist die Null ein Nullteiler?
Beispiel 7.9. (a) Offensichtlich ist Z∗ = {1,−1}, der Ring Z ist also kein Körper. Die 0 ist aber der einzige Nullteiler in Z, d. h. Z ist ein Integritätsring.
Sind Matrizen nullteilerfrei?
Jeder Körper ist nullteilerfrei, denn jedes von 0 verschiedene Element ist eine Einheit (siehe unten). Allgemein sind in einem Matrizenring über einem Körper oder Integritätsring genau die Matrizen Nullteiler, die nicht die Nullmatrix sind und deren Determinante 0 ist.
Ist A ∈ Nil R so ist a ein Nullteiler?
Einheiten sind keine Nullteiler. Sind a, b ∈ R keine Nullteiler, so ist auch ab kein Nullteiler. 5. Nilpotente Elemente ungleich Null sind Nullteiler.
Was bedeutet Nullteiler?
Ein Nullteiler eines kommutativen Ringes R ist ein vom Nullelement verschiedenes Element a, für das es ein Element b ungleich 0 gibt, so dass a b = 0 ab = 0 ab=0.
Wie viele Elemente hat ein Ring?
Die Ringe ℤ, ℚ, ℝ und ℂ besitzen ein Einselement, die Zahl 1. Dagegen besitzen die Ringe n ℤ für n>1 kein Einselement.
Was ist Nullteilerfreiheit?
Definition. In nichtkommutativen Ringen müssen Linksnullteiler keine Rechtsnullteiler sein und umgekehrt, bei kommutativen Ringen hingegen fallen die zwei mal drei Begriffe schlicht zu Nullteiler bzw. Nichtnullteiler zusammen. Ein Ring ohne echte Links- und ohne echte Rechtsnullteiler heißt nullteilerfrei.
Haben Körper Nullteiler?
Jeder Körper ist nullteilerfrei. Der Restklassenring Z / 6 Z \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} Z/6Z hat die Nullteiler 2 und 3, denn 2 ⋅ 3 ≡ 0 m o d 6 2 \cdot 3 \equiv 0 \mod 6 2⋅3≡0mod6.