Wann ist eine Menge ein Unterraum?
Da ein Untervektorraum selbst ein Vektorraum ist, und Vektorräume immer einen Nullvektor enthalten müssen, muss natürlich auch 0∈U gelten. Das gilt auch für a=0 und damit muss der Nullvektor (0⋅v=0) immer in U sein, damit es ein Untervektorraum sein kann.
Wie beweist man untervektorraum?
Satz 3.2.12 Ist U ein Unterraum von V , so ist die Relation ∼ auf V mit u ∼ v ⇔ u − v ∈ U eine ¨Aquivalenzrelation auf V . Die ¨Aquivalenz- klassen sind die affinen Unterräume U + x. Beweis Es genügt zu zeigen: u − v ∈ U ⇔ u, v ∈ U + x für ein x ∈ V .
Ist Q Unterraum von R?
ℚ ist eine Untergruppe von (ℝ, +), aber kein Unterraum des ℝ-Vektorraumes ℝ. Sind zum Beispiel U und W zwei verschiedene Geraden der Ebene durch 0, so ist U ∪ W keine Untergruppe von (ℝ2, +). Denn sind u ∈ U und w ∈ W beide ungleich dem Nullvektor, so ist u + w kein Element von U ∪ W.
Wann handelt es sich um einen Vektorraum?
Ein Vektorraum ist eine algebraische Struktur (eine Menge mit Verknüpfungsgebilden). Die Elemente eines Vektorraums werden Vektoren genannt. Sie können beliebig addiert oder mit Zahlen multipliziert werden, wobei das Ergebnis ein Vektor desselben Vektorraums ist.
Wie wird der Unterraum erzeugt?
Der Unterraum wird durch die linear unabhängigen Matrizen ( 1 0 0 ) ( 0 1 1 0 ) erzeugt. ist damit ein zweidimensionaler Vektorraum. Für den Unterraum genügt für die Erzeugung das Element ( 1 0 0 ) , d.h., der Unterraum der angegebenen speziellen zweireihigen Matrizen ist eindimensional.
Was ist eine Untergruppe?
Eine Untergruppe ist zum Beispiel eine Teilmenge einer Gruppe, die selbst wieder eine Gruppe ist. Genauso ist ein Teilkörper eine Teilmenge eines Körpers, welcher selbst wieder ein Körper ist. Die Gründe für die Betrachtung von Unterstrukturen sind vielfältig. Sie werden zum einen benötigt, um weitere algebraische Strukturen zu definieren.
Welche Beispiele gibt es für Basen und Unterräume?
Im Folgenden werden wir einige Beispiele für Basen und Unterräume angeben. Beispiel 1: Basen im n-dimensionalen Vektorraum ℝn Beispiel 2: Vektorraum M (2, 2) der zweireihigen Matrizen und Unterräume Beispiel 3: Vektorraum Pn der Polynome höchstens n-ten Grades
Was ist die Dimension von U?
Die Anzahl der Vektoren einer Basis von U nennt man die Dimension von U. (Da V Unterraum von sich selbst ist, sind durch obige Formulierung auch die Begriffe Basis von V und Dimension von V für einen endlichdimensionalen Vektorraum V mit erfasst.)