Wann ist eine Teilmenge kompakt?
Eine Teilmenge K eines topologischen Raums M heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung von K eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
Wann ist ein Raum kompakt?
Ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in dem Raum eine konvergente Teilfolge mit ihrem Grenzwert in dem Raum hat. Ein topologischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jedes Netz auf dem Raum ein Teilnetz hat, das einen Grenzwert in dem Raum hat.
Ist die leere Menge kompakt?
die leere Menge. Die leere Menge ist die einzige Basis des Nullvektorraums. Die leere Menge ist definitionsgemäß in jedem topologischen Raum zugleich abgeschlossen und offen. Jede endliche Teilüberdeckung enthält die leere Menge, also ist die leere Menge kompakt.
Sind kompakte Mengen offen?
Eine kompakte Menge K ⊆ Rd ist eine Menge, die sowohl abgeschlossen als auch beschränkt ist. Kompakte Mengen sind wichtig, denn auf diesen nehmen stetige Funktionen ihr Maximum und Minimum an. Menge M ist offen, wenn der Rand nicht dazugehört. Gehört der Rand dazu, ist M abgeschlossen und sogar kompakt, da beschränkt.
Wann ist eine Menge offen?
Anschaulich ist eine Menge offen, wenn ihre Elemente nur von Elementen dieser Menge umgeben sind, mit anderen Worten, wenn kein Element der Menge auf ihrem Rand liegt. Die Komplementärmenge einer offenen Menge nennt man abgeschlossene Menge.
Wann ist ein Raum abgeschlossen?
Eine Teilmenge A ⊆ M A\subseteq M A⊆M eines metrischen Raums heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement M ∖ A = A c M\setminus A=A^c M∖A=Ac offen ist. Abgeschlossen und offen sind damit zueinander duale Begriffe.
Was ist ein vollständiger metrischer Raum?
Ein metrischer Raum ( M, d) heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert. Im übertragenen Sinn bedeutet die Vollständigkeit, dass der Raum keine Löcher enthält.
Ist der Rand einer Menge abgeschlossen?
Der Rand einer Menge ist der Schnitt des Abschlusses der Menge mit dem Abschluss ihres Komplementes. Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie ihren Rand enthält.