Wann ist es eine abelsche Gruppe?
Eine Gruppe heißt abelsch (oder kommutativ), falls ab = ba für alle Elemente a,b gilt; in abelschen Gruppen schreibt man die Gruppenoperation meist als Addition. Eine Gruppe G heißt endlich erzeugt, wenn sie ein endliches Erzeugendensystem besitzt.
Welche Gruppen sind abelsch?
Eine abelsche Gruppe ist eine Gruppe, für die zusätzlich das Kommutativgesetz gilt. abstrahiert und der Begriff der kommutativen oder abelschen Gruppe geschaffen. Der Name ist zu Ehren des norwegischen Mathematikers Niels Henrik Abel gewählt worden.
Ist r eine abelsche Gruppe?
1) (Z, +) ist abelsche Gruppe bezüglich der üblichen Addition von ganzen Zahlen. Das neutrale Element ist 0 , das inverse Element von n ist −n . In derselben Weise sind (Q, +) und (R,+) ebenfalls abelsche Gruppen.
Sind normalteiler Abelsch?
Jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist Normalteiler der Gruppe und viele Aussagen über Normalteiler sind für abelsche Gruppen trivial.
Ist r eine kommutative Gruppe?
(b) (R, ·) ist keine Gruppe: Die Multiplikation ist zwar assoziativ und kommutativ und hat das neutrale Element 1, aber die Zahl 0 hat kein Inverses — denn dies müsste ja eine Zahl x ∈ R sein mit x·0 = 1.
Wann ist eine Gruppe endlich?
Endliche Gruppen sind etwa die zyklischen Gruppen bis auf die unendliche zyklische Gruppe oder die Permutationsgruppen (siehe: Symmetrische Gruppe, Alternierende Gruppe) endlicher Mengen.
Ist die Gruppe kommutativ?
Nicht jede Gruppe muss kommutativ sein. Die Gruppen, die auf den gewöhnlichen Zahlenbereichen basieren sind kommutativ. Im allgemeinen gilt sogar: Jede Untergruppe einer kommutativen Gruppe ist kommutativ.
Ist R eine Gruppe?
Analog erhalten wir die abelschen Gruppen (Q,+) , (R,+) und (C,+) .
Wann ist eine Untergruppe ein Normalteiler?
Bei den Normalteilern handelt es sich um spezielle Untergruppen. Jede Gruppe G hat zwei triviale Normalteiler: {e}, die Untergruppe, die nur aus dem neutralen Element besteht und die Gruppe G selbst. Sind diese beiden Normalteiler die einzigen Normalteiler einer Gruppe, dann heißt die Gruppe einfach.
Sind nebenklassen Untergruppen?
Die Linksnebenklassen (oder auch die Rechtsnebenklassen) bezüglich einer Untergruppe teilen die Gruppe (als Menge angesehen) in disjunkte Teilmengen auf. Ist die Untergruppe sogar ein Normalteiler, so ist jede Linksnebenklasse zugleich eine Rechtsnebenklasse und wird ab jetzt nur Nebenklasse genannt.
Welche Mengen sind Gruppen?
In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen …
Wann ist eine Gruppe nicht zyklisch?
Die Verknüpfung der Elemente ist die Hintereinanderausführung der Drehungen; das entspricht einer Addition der Winkel. Lässt man nicht nur Drehungen der Ebene zu, sondern auch Spiegelungen, dann erhält man im Fall von Vielecken die so genannten Diedergruppen. Die Drehgruppe des Kreises, , ist nicht zyklisch.