Warum Singulärwertzerlegung?
Die Singulärwertzerlegung ist der Kern der Latent Semantic Analysis, eines Verfahrens des Information Retrieval, das hilft, in großen Textkollektionen latente Konzepte aufzudecken, anhand derer dann z. B. unterschiedlich bezeichnete Informationen zum gleichen Thema gefunden werden können.
Hat jede Matrix eine Singulärwertzerlegung?
Satz (SVD): Jede Matrix A ∈ Cm×n hat eine Singulärwertzerlegung.
Wann ist eine Matrix symmetrisch?
Eine symmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, deren Einträge spiegelsymmetrisch bezüglich der Hauptdiagonale sind. So ist eine reelle symmetrische Matrix stets selbstadjungiert, sie besitzt nur reelle Eigenwerte und sie ist stets orthogonal diagonalisierbar.
Wann ist eine Matrix diagonal?
Als Diagonalmatrix bezeichnet man in der linearen Algebra eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonalen bestimmt.
Warum QR Zerlegung?
Die QR-Zerlegung spielt in vielen Verfahren der numerischen Mathematik eine wichtige Rolle, beispielsweise um eine orthogonale oder unitäre Basis zu bestimmen oder um lineare Ausgleichsprobleme zu behandeln. Sie ist integraler Bestandteil des QR-Algorithmus zur Berechnung aller Eigenwerte einer Matrix.
Was ist der Kern einer Matrix?
Der Kern einer Matrix ist eine Menge von Vektoren. Genauer gesagt, handelt es sich dabei um all die Vektoren, welche von rechts an die Matrix multipliziert den Nullvektor ergeben. Also alle Vektoren, die von der betrachteten Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden, liegen im sogenannten Kern der Matrix.
Wann existiert QR Zerlegung?
Zerlegung einer Matrix A ∈ ℝm×n in ein Produkt A = QR, wobei Q ∈ ℝm×m orthogonal und R ∈ ℝm×n eine obere Dreiecksmatrix ist. Hat A vollen Spaltenrang, also Rang(A) = n, so existiert eine QR-Zerlegung A = QR mit rii > 0. Diese Zerlegung ist eindeutig.