Was gehört zu einem Eigenwert?
Genauer gesagt: Zu einem Eigenwert gehört nicht nur ein Eigenvektor, sondern auch alle Vielfachen dieses Vektors. Zurück zu unserem vorherigen Beispiel. Häufig ist eine Matrix gegeben und wir sollen die Eigenwerte sowie die Eigenvektoren berechnen. Wie man dieses sog.
Was sind die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix?
Seien die Eigenwerte der Matrix . Dann gilt: Ist ein Eigenwert einer Matrix , so ist er auch ein Eigenwert der transponierten Matrix und umgekehrt. Das Spektrum von stimmt also mit dem Spektrum der Transponierten überein. Jeder Eigenwert einer reellen symmetrischen Matrix ist reell.
Was ist ein charakteristischer Eigenwert?
Da der Eigenwert eine einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, ist seine algebraische Vielfachheit gleich 1. Ebenso ist seine geometrische Vielfachheit gleich 1, da sein Eigenraum eindimensional ist. Analog kann man für die anderen beiden Eigenwerte die Eigenvektoren bestimmen.
Wie können wir den doppelten Eigenwert bestimmen?
Wir wollen für den doppelten Eigenwert die Eigenvektoren bestimmen. Hierfür setzen wir im ersten Schritt den Eigenwert in die Eigenwertgleichung ein und erhalten: Jeder Vektor aus dieser Lösungsmenge ist also ein Eigenvektor der Matrix zum Eigenwert 1.
Was sind die Eigenvektoren?
Die Eigenvektoren sind genau jene Vektoren, die unter A auf ein Vielfaches ihrer selbst abgebildet werden, d.h. die um den Faktor Lambda gestreckt werden. Die Eigenvektoren der Jakobimatrix spannen ein Koordinatensystem auf, deren Verhalten durch Streckung um die jeweiligen Eigenwerte bestimmt ist.
Was ist das Eigenwertproblem?
Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ (m,m). Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugeh¨origen Vektor x (6= 0) zu finden, damit Ax = λx ist, nennt man Eigenwertproblem.
Ist ein Eigenwert unverändert?
Ein Eigenwert hat unendlich viele zugehörige Eigenvektoren, während ein Eigenvektor immer nur zu einem Eigenwert gehören kann. Multipliziert man die Matrix A A mit dem k k -fachen Eigenvektor, bleibt der zu dem Eigenvektor gehörende Eigenwert λ λ unverändert.
Wie kann man die Eigenwerte einer Matrix bestimmen?
Anhand der Eigenwerte kann man die Definitheit einer Matrix bestimmen. So sind die Eigenwerte von reellen symmetrischen Matrizen reell. Ist die Matrix echt positiv definit so sind die Eigenwerte reell und echt größer Null.