Was ist die Zahl i?
Eine (rein) imaginäre Zahl (auch Imaginärzahl, lat. numerus imaginarius) ist eine komplexe Zahl, deren Quadrat eine nichtpositive reelle Zahl ist. Äquivalent dazu kann man die imaginären Zahlen als diejenigen komplexen Zahlen definieren, deren Realteil null ist.
Warum imaginäre Zahlen?
Warum gibt es also imaginäre Zahlen und wofür braucht man sie? Die Zahl i macht es möglich, Gleichungen zu lösen, die keine echte Lösung haben. In der Mathematik ist es ein No-Go, zu akzeptieren, dass eine Gleichung keine Lösung hat! Wo es Zahlen gibt, gibt es auch eine Lösung!
Ist 1 eine komplexe Zahl?
In der Schule haben die meisten schon einige Zahlenarten kennengelernt. Da waren zum Beispiel die natürlichen Zahlen wie 1, 2, 3, 4, 5, es gab negative Zahlen wie zum Beispiel -1, -2, -3 und auch irrationale Zahlen wie die Wurzel aus 2 (also etwa 1,4142…). Man nennt diese „komplexe Zahlen“.
Wie sehen komplexe Zahlen aus?
Komplexe Zahlen werden üblicherweise in der Form bi a + dargestellt, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit. Die Komponenten liegen entlang der reellen bzw. der imaginären Achse.
Wie ist die imaginäre Einheit i definiert?
Um derartige Größen zuzulassen, werden sogenannte imaginäre Zahlen eingeführt. Die Quadratwurzel mit einem negativen Radikanden ist ein imaginäre Zahl. Da keine reelle Zahl existiert, deren Quadrat -1 ist, erweitert man den Zahlenbegriff um die imaginäre Einheit i = √-1.
Warum ist 1 i =- i?
1/i ist also zunächst nichts anderes, als dass die Zahl „1“ durch „i“ geteilt wird bzw. der Kehrwert von „i“. Mit etwas Geschick lässt sich diese Division bzw. dieser Kehrwert noch in einen Ausdruck verwandeln, der leichter zu verstehen ist und mit dem man besser weiterrechnen kann.
Warum 1 i?
„1/i“ ist schon ein seltsamer Ausdruck und man kann kaum glauben, dass dieser etwas mit Mathematik zu tun haben soll. Dabei ist „i“ die sog. imaginäre Einheit, die von den Mathematiker „erfunden“ wurde, um auch aus negativen Zahlen die Wurzel ziehen zu können. „i“ ist die imaginäre Einheit.
Wer hat imaginäre Zahlen erfunden?
Leonhard Euler
Die Einführung der imaginären Einheit i als neue Zahl wird Leonhard Euler zugeschrieben. Komplexe Zahlen können in der Form x + iy dargestellt werden, wobei x und y reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist.
Was zählt zu den komplexen Zahlen?
Komplexe Zahlen (Symbol: ) stellen eine Erweiterung des Zahlenbereichs dar. Diese Erweiterung ist notwendig um Gleichungen wie z.B. x 2 = − 1 lösen zu können. Für diese Gleichung finden wir keine reelle Zahl aus , die diese Gleichung lösen würde. Komplexe Zahlen können in der Form z = a + b ⋅ i dargestellt werden.
Was sind komplexe Zahlen Beispiele?
Komplexe Zahlen Rechenregeln Übersicht
| Komplexe Zahlen Struktur | ; |
|---|---|
| Realteil Re und Imaginärteil Im | Re(z) = a , Im(z) = b ; Re(w) = c , Im(w) = d |
| Addition und Subtraktion | |
| Multiplikation | |
| Division |
Welche Zahlen sind komplex?
Komplexe Zahlen (Symbol: ) stellen eine Erweiterung des Zahlenbereichs dar. Diese Erweiterung ist notwendig um Gleichungen wie z.B. x 2 = − 1 lösen zu können. Komplexe Zahlen können in der Form z = a + b ⋅ i dargestellt werden.
Was ist 1i?
imaginäre Einheit, die von den Mathematiker „erfunden“ wurde, um auch aus negativen Zahlen die Wurzel ziehen zu können. „i“ ist die imaginäre Einheit.
Was ist die Menge der komplexen Zahlen?
Die Menge der komplexen Zahlen wird als Erweiterung der Menge reeller Zahlen betrachtet, die eine imaginäre Zahl enthält, die mit i Exponent (a; b) bezeichnet ist, so dass i = Quadratwurzel von -1 und i² = -1, mit dem Quadrat von ( -i) auch gleich -1.
Warum wurde die Bezeichnung „imaginär“ benutzt?
Die Bezeichnung „imaginär“ wurde zuerst 1637 von René Descartes benutzt, allerdings für nichtreelle Lösungen von algebraischen Gleichungen. i 2 = − 1. {\\displaystyle \\mathrm {i} ^ {2}=-1.} angewendet. Diese ist jedoch ungenau, weil sie zu folgendem Widerspruch führt: was offensichtlich falsch ist.
Wie definiert man eine neue Zahlenart?
So definierte man einfach eine neue Zahlenart, nämlich die komplexen Zahlen, mit denen dies gelingt. Den komplexen Zahlen liegt die imaginäre Einheit „i“ zugrunde, die wie folgt definiert wurde: i = Wurzel (-1), folglich gilt i² = -1.
Wie werden komplexe Zahlen dargestellt?
In ihrer algebraischen Form werden die komplexen Zahlen folgendermaßen mit dieser Formel dargestellt: Die Zahl a entspricht dem Realteil, während der Teil b dem Imaginärteil entspricht. Es muss zunächst verstanden werden, dass komplexe Zahlen sowohl reelle Zahlen als auch imaginäre Zahlen umfassen.