Was sagen Eigenwerte und Eigenvektoren aus?

Wolfgang SchneiderOktober 26, 2020

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Was sagen Eigenwerte und Eigenvektoren aus?

Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht.

Für was braucht man Eigenwerte?

Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht. In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells.

Wie viele Eigenwerte hat eine Matrix maximal?

Prinzipiell hat eine Matrix soviele Eigenwerte wie sie Zeilen/Spalten hat (Eigenwerte gibt es nur bei quadratischen Matrizen). Dabei kann es auch vorkommen, dass ein Eigenwert mehrfach auftritt.

Was ist die Bestimmung der Eigenvektoren?

Nun zur Bestimmung der Eigenvektoren. Dafür setzt man den Eigenvektor in die Gleichung anstelle des λ ein und erhält so ein Gleichungssystem das man lösen kann. Die Lösung dieses Gleichungssystems ist dann der Eigenvektor bzw. die Eigenvektoren.

Was sind Eigenwerte und Eigenwerte eines Vektorraums?

Eigenvektoren und Eigenwerte. Die nächste zentrale Deﬁnition ist die von Eigenwerten und Eigenvektoren eines Endomorphismus eines Vektorraums. Sei f : V → V ein Endomorphismus. Ein λ ∈ K heißt Eigenwert von f, wenn es einen Vektor v ∈ V ungleich Null gibt mit f(v) = λv. Solch ein Vektor heißt dann ein Eigenvektor von f zum Eigenwert λ.

Was gehört zu einem Eigenwert?

Genauer gesagt: Zu einem Eigenwert gehört nicht nur ein Eigenvektor, sondern auch alle Vielfachen dieses Vektors. Zurück zu unserem vorherigen Beispiel. Häufig ist eine Matrix gegeben und wir sollen die Eigenwerte sowie die Eigenvektoren berechnen. Wie man dieses sog.

Was ist das Eigenwertproblem?

Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ (m,m). Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugeh¨origen Vektor x (6= 0) zu ﬁnden, damit Ax = λx ist, nennt man Eigenwertproblem.

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Was sagen Eigenwerte und Eigenvektoren aus?

Wolfgang SchneiderJuni 17, 2020

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Was sagen Eigenwerte und Eigenvektoren aus?

Ein Eigenvektor wird also nur skaliert und man bezeichnet den Skalierungsfaktor als Eigenwert der Abbildung. Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht.

Was sagen Eigenwerte einer Matrix aus?

Ein Eigenvektor einer Matrix ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch Multiplikation mit der Matrix nicht verändert wird. Der Streckungsfaktor heißt Eigenwert der Matrix.

Was gibt der Eigenvektor an?

Ein Eigenvektor einer Matrix ist ein Vektor, den man von rechts an die Matrix multiplizieren kann und als Ergebnis einen Vektor erhält, der in die selbe Richtung zeigt.

Wie bestimmt man eigenwerte?

Wir multiplizieren eine Matrix mit einem Vektor und erhalten als Ergebnis das -fache vom Vektor : Dabei ist der Eigenvektor und der Eigenwert der Matrix .

Wie viele verschiedene Eigenwerte kann eine Matrix haben?

Prinzipiell hat eine Matrix soviele Eigenwerte wie sie Zeilen/Spalten hat (Eigenwerte gibt es nur bei quadratischen Matrizen). Dabei kann es auch vorkommen, dass ein Eigenwert mehrfach auftritt.

Hat eine Matrix immer Eigenwerte?

(b) Jeder Eigenvektor einer invertierbaren Matrix ist auch ein Eigenvektor der Inversen Matrix. (c) Jede Matrix mit negativer Determinante hat mindestens einen negativen Eigenwert. Richtig, die Determinante einer Matrix ist das Produkt ihrer Eigenwerte.

Was ist ein normierter Eigenvektor?

Definition [Eigenvektor] Der Vektor x−λ , der zu einem Eigenwert λ das Eigenwertproblem löst, heißt Eigenvektor. Der Eigenvektor x−λ ist definiert durch: A⋅x−λ=λx−λbzw. Eigenvektoren werden in der Regel auf die Länge 1 normiert.

Wie kann man die Eigenwerte einer Matrix berechnen?

Was ist ein basisvektor?

In der linearen Algebra ist eine Basis eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt. Die Koeffizienten dieser Linearkombination heißen die Koordinaten des Vektors bezüglich dieser Basis.