Wie viele Häufungspunkte hat eine konvergente Folge?
Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt, ihren Grenzwert. Also gilt auch: Jeder Grenzwert einer Zahlenfolge ist Häufungspunkt.
Hat jede reelle Folge einen Häufungspunkt?
Satz: (Satz von Bolzano und Weierstraß) Jede reelle beschränkte Folge (an)n∈N besitzt eine konvergente Teilfolge, d.h. die Folge (an)n∈N hat mindestens einen Häufungspunkt.
Wie berechnet man Häufungspunkte?
Für Häufungspunkte gibt es eine ähnliche Charakterisierung: Eine Zahl ist Häufungspunkt einer Folge, wenn in jeder Umgebung um den Punkt unendlich viele Folgenglieder liegen.
Wann ist eine Folge eine nullfolge?
In der Mathematik versteht man unter einer Nullfolge eine Folge (meist von reellen Zahlen), die gegen 0 konvergiert (sich annähert). Jede konvergente Folge kann als die Summe aus einer konstanten Zahl (nämlich ihrem Grenzwert) und einer Nullfolge dargestellt werden.
Kann ein Häufungspunkt unendlich sein?
Auch eine unendliche „Stapelung“ gilt als Häufungspunkt.
Wann ist lim sup gleich Lim?
Der Limes inferior und der Limes superior sind genau dann beide reelle Zahlen, wenn die Folge beschränkt ist. Da Häufungspunkte gerade die Grenzwerte konvergenter Teilfolgen sind, ist der Limes inferior die kleinste erweiterte reelle Zahl, gegen die eine Teilfolge konvergiert bzw. der Limes superior die größte.
Wie berechnet man den Limes?
Formal wird die Berechnung eines Grenzwertes folgendermaßen ausgedrückt: lim x → a f ( x ) = A , gesprochen: „Der Limes für gegen von ist gleich . “
Wie zeigt man dass eine Folge eine Nullfolge ist?
Die Folge (an)=(1n) ist eine Nullfolge. Beweis: Von einem bestimmten n an (d.h. für fast alle n) muss | an−0 |<ε gelten. (Wählt man beispielsweise ε=0,01, so muss n>100 sein, d.h., alle Glieder der Folge ab a101 haben von 0 einen geringeren Abstand als 0,01, liegen also in der ε-Umgebung von 0.)
Ist 1 eine konvergente Folge?
Um das Konvergenzverhalten von Folgen zu verstehen, reicht es, sich mit Nullfolgen zu beschäftigen, denn es gilt: Satz 1. Eine Folge (an)n ist genau dann konvergent mit Limes a, wenn die Folge (an − a)n eine Nullfolge ist.
Was bedeutet Konvergenz einer Reihe?
In der Analysis ist ein Konvergenzkriterium ein Kriterium, mit dem die Konvergenz einer Folge oder Reihe bewiesen werden kann. Insbesondere sind damit Kriterien für die Konvergenz reeller Folgen oder Reihen gemeint. Mit einigen dieser Kriterien kann auch die Divergenz einer Folge oder Reihe nachgewiesen werden.