Wie zeigt man gleichmäßige Stetigkeit?
Sei A ⊆ Rs nichtleer und sei f : A → Rr eine Funktion. Dann heißt f gleichmäßig stetig, wenn ∀ε > 0∃δ > 0∀x, y ∈ A mit |x − y| < δ : |f(x) − f(y)| < ε. Es hängt δ also nur von f und ε ab, während es bei der Stetigkeit noch zusätzlich von x abhängt.
Sind konvergente Folgen stetig?
Definition. Eine Funktion f : D → Rd mit D ⊆ Rm heißt stetig, wenn für jede konvergente Folge an → a mit an ∈ D, a ∈ D gilt f(an) → f(a). Die folgenden Funktionen sind stetig: sin,cos,tan,arcsin,arccos,arctan,exp,log,x ↦→ xα auf D = R+ = (0,∞), x ↦→ Ax auf D = Rm, x ↦→ x.
Ist die wurzelfunktion Lipschitz stetig?
Denn die Wurzelfunktion beginnt im Nullpunkt mit einer unendlichen Steigung, und diese Steigung macht die Lipschitz-Stetigkeit unmöglich, da wir die Steigung unserer den Graphen einschließenden Geraden im Nullpunkt ebenfalls unendlich groß wählen müssten.
Wann ist eine Funktion in einem Punkt stetig?
Eine Funktion f ist in einem Punkt a ihres Definitionsbereiches D genau dann stetig, wenn für jede Folge (xn) in D die Konvergenz xn → a die Konvergenz der Folge der Bilder (f (xn)) gegen f (a) nach sich zieht (Folgenkriterium für Stetigkeit).
Wann impliziert punktweise Konvergenz gleichmäßige Konvergenz?
Satz 6.8 Gleichmäßige Konvergenz impliziert punktweise Konvergenz. Für die punktweise Konvergenz kann man in der Definition für vorgegebenes ε alle x ∈ I den Index n0(ε, x) = n0(ε) wählen, wobei n0(ε) der Index aus der Definition der gleichmäßi- gen Konvergenz ist.
Was ist die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion?
Die Funktionsgleichung der linearen Funktion hat die Form g x = -3 x + 1 . Die Funktionsgleichung der antiproportionalen Funktion hat die Form h x = 2 x . Die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion hat die Form f x = 2 x 2 – 16 x + 32 .
Was ist die Funktionsgleichung der linearen Funktion?
An der Form des Funktionsterms kannst du erkennen, welcher Funktionsterm zu welcher Funktion, und somit zu welchem Graphen gehört. Die Funktionsgleichung der linearen Funktion hat die Form g x = -3 x + 1 .
Wie lautet die quadratische Funktion?
Die allgemeine Form für eine quadratische Funktion lautet: Die einfachste quadratische Funktion ist die Normalparabel mit y = x 2. Der höchste oder tiefste Punkt einer quadratischen Funktion wird auch Scheitelpunkt S genannt. Die Scheitelpunktform lautet:
Was ist bei gleichmäßiger Konvergenz möglich?
Außerdem lassen sich der Folgengrenzwert und der Funktionsgrenzwert vertauschen. Man kann also bei gleichmäßiger Konvergenz zuerst die Grenzfunktion bilden und dann die Funktion gegen einen bestimmten Punkt laufen lassen oder umgekehrt. Das Ergebnis ist dasselbe. Das war bei punktweiser Konvergenz nicht immer möglich.