Was ist eine rationale Zahl und eine irrationale Zahl?
Klären wir noch den Unterschied zwischen einer rationalen Zahl und einer irrationalen Zahl: Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die durch einen Bruch dargestellt werden kann. Irrationale Zahlen sind hingegen Zahlen, die nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen dargestellt werden können.
Was sind die irrationalen Zahlen?
Die irrationalen Zahlen sind eine Zahlenmenge, die wir brauchen um zu den reellen Zahlen zu kommen. Die reellen Zahlen erhält man nämlich, wenn man zu der Menge der rationalen Zahlen noch die irrationalen Zahlen dazu nimmt.
Wie stoßen wir auf die irrationalen Zahlen?
Auf die irrationalen Zahlen stoßen wir, wenn wir die Wurzeln aus natürlichen Zahlen ziehen. Die Wurzel aus der natürlichen Zahl 25 ergibt die natürliche bzw. rationale Zahl 5, da 5² = 25. Wir können festhalten: √25 und 5 sind Element von ℚ.
Was ist die Dichtheit der rationalen und irrationalen Zahlen?
Um die Dichtheit der rationalen und irrationalen Zahlen zu zeigen, beweisen wir also die folgenden vier Sätze: 1. Zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen liegt mindestens eine rationale Zahl. 2. Zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen liegt mindestens eine irrationale Zahl.
Was sind die Wurzeln aus Quadratzahlen?
Die Wurzel aus Quadratzahlen sind natürliche bzw. rationale Zahlen. Alle anderen Wurzeln sind irrationale Zahlen. Grund: Zieht man die Wurzel aus diesen Zahlen entstehen Dezimalzahlen, welche nach dem Komma nicht enden und nicht periodisch sind.
Ist der Beweis der Irrationalität irrational?
Beweis der Irrationalität. Die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl ist irrational, wenn in deren Primfaktorzerlegung mindestens einer der Primfaktoren in ungerader Anzahl vorkommt.Insbesondere ist die Quadratwurzel einer Primzahl stets irrational. Der Beweis wird meist indirekt geführt, hier zum Beispiel für 2.