Was macht man mit dem Rest der Polynomdivision?
Bei einer Polynomdivision kann eine Lösung mit Rest entstehen. Das bedeutet, dass an dieser Stelle keine Nullstelle der Funktion ist. Wir schreiben den Rest als Addition oder Subtraktion als Bruch \large{\frac{Rest}{Divisor}} auf. Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen!
Hat jede polynomfunktion eine ganzzahlige Nullstelle?
Somit müssen wir, wenn wir die Nullstellen ausrechnen wollen, die Polynomdivision verwenden. Um nicht bei jeder Zahl prüfen zu müssen, ob diese eine Nullstelle der Funktion ist, betrachten wir die oben beschriebenen Bedingungen. Diese besagen, dass die Funktion nur ganzzahlige Koeffizienten besitzen darf.
Hat jede Funktion eine Nullstelle?
Jede lineare Funktion hat entweder eine Nullstelle oder keine Nullstelle. Funktionen, die keine Nullstelle besitzen, verlaufen parallel zur x-Achse. Diese Gerade wird die x-Achse nie schneiden.
Wie hängen Nullstellen von Polynomen und Linearfaktoren zusammen?
Polynome vom Grad 2 oder höher sind nicht mehr linear, da die Variable x auch in höheren Potenzen vorkommt. Für ein Polynom p(x) ist (x-a) genau dann ein reeller Linearfaktor, wenn a eine reelle Nullstelle von p(x) ist, d.h. p(a)=0. Reelle Nullstellen und reelle Linearfaktoren hängen also zusammen.
Wie sieht eine polynomfunktion aus?
Eine Polynomfunktion, oder auch ganzrationale Funktion, besteht aus einem Polynom, also aus einem Term in welchem mehrere Variablen (z.B. x) mit verschiedenen Exponenten vorkommen und dabei mit einem +/- voneinander getrennt sind. (Mehr zum Thema Polynome).
Wann zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren?
Ein Polynom vom Grad n zerfällt daher in Linearfaktoren, wenn es genau n Nullstellen (mit Vielfachheit gezählt) besitzt.
Wann muss man faktorisieren?
Das Ausklammern bzw. Faktorisieren dient dazu aus einer Summe oder einer Differenz ein Produkt zu machen. Im einfachsten Fall sieht man direkt bei jedem Term einer Summe oder Differenz, dass hier gleiche Zahlen bzw. Variablen vorliegen und kann diese vor eine Klammer ziehen.
Wann verwendet man ausklammern?
Ausklammern dient dazu, aus einer Summe oder Differenz ein Produkt zu machen. Beim Ausklammern wird dort eine Klammer erzeugt, wo vorher keine war. Die Umwandlung einer Summe oder Differenz in ein Produkt heißt auch Faktorisieren.
Was muss man beim Ausmultiplizieren beachten?
Faktor mal Klammer: Wir haben eine Klammer mit Zahlen darin. Vor dieser Klammer steht eine Zahl, die mit der Klammer multipliziert wird. Dies bezeichnet man auch als Faktor mal Klammer. Man löst dies so, dass wir den Faktor vor der Klammer mit jeder Zahl in der Klammer multiplizieren.